八高2年数学ハイレベル添削Ｎｏ19：方針とヒント

この問題のテーマは「反転」と呼ばれるもので、有名問題である。インターネットで「反転　軌跡　数学」で検索すれば色々出てくる。数Ⅲの極座標を使っても解けるが、ここでは軌跡とベクトルの考え方で解いてみる。

（1）はＰ(x,y)となっているので、同一半直線上にあることからkを正の実数として

Ｑ(kx,ky)←ベクトルの同一直線上にある条件

とおくことがポイント。あとはＯＰ・ＯＱ＝4からｋをx,yで表してＱの座標に代入するとよい。

（2）は軌跡の定石通りＱ（Ｘ,Ｙ）とおいて

①　Ｘ＝（前問のｘ成分）　Ｙ＝（前問のｙ成分）

とおいてから、ＯＰ・ＯＱ＝4という条件を使ってこの式を変形して

②　ｘ＝（Ｘ,Ｙの式）　ｙ＝（Ｘ,Ｙの式）

の形にし、Ｐの描く円の方程式に代入して整理することになる。答は原点を通らない直線になるが、計算はかなり煩雑。ある程度工夫して計算をしやすくしないと間違えてしまうだろう。

※①から②に変形するときは計算だけでもできるが、対称性を利用するとラク。①で

ｘとＸ、ｙとＹ

をそれぞれ交換すると②になる。これはＰとＱの位置をそっくり入れ替えても条件は何も変わらないので、自然なことである。