八高1年数学ハイレベル添削No1：方針とヒント

まず条件を見て最初に気づかなければいけないのは、「ｘ、ｙ、ｚの対称式である」ということ。すると基本対称式のｘ+ｙ+ｚ、ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ、ｘｙｚという形を作ることが目標になる。

①はそのまま利用できるが、②はそうではないため式変形をして残り二つのｘｙ+ｙｚ+ｚｘ、ｘｙｚの形を作るにはどうすればいいかを考える。両辺に3ｘｙｚをかければ、この二つが一気に出てくることがわかるだろう。（1）に取り掛かる前に、ここまではやっておきたい。

（1）だが、②の両辺に3ｘｙｚをかけると

ｘｙｚ＝3（ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ）

となり、①と合わせるとアとイに入る数字がわかる。

（2）は複数の文字を含む因数分解の定石通りｘ、ｙ、ｚどれかの文字について整理してみればOK。ｘについて整理すると係数でくくれる。さらに因数分解できることに注意せよ！

（3）は（2）の結果をどう利用するかがカギとなる。小問に分かれているときは誘導の可能性が高いので注意しよう。

【平方完成を知っている人向け】
いかつい式だが、まずは式を分析。ｘについては2次、ｙとｚについては1次なので、とりあえず定石通り次数の低い文字（ｙまたはｚ）について整理してみよう。ここではｙについて整理する。

（　　A　　）ｙ－3（　　B　　）

という形になるが、まだ複雑なので、今度は（　　A　　）のみを取り出し整理することを考える。この部分はｘについて2次、ｚについて1次なので（　　A　　）をｚについて整理してみるとうまく因数分解ができ、（2）の結果と似た形が出てくる。

次に（　　B　　）を整理しよう。ここも同じくｚについて1次式なのでｚについて整理。ｚの係数はそのまま因数分解できる。ｚがない部分をどうするかがポイントだが、ここで平方完成を行えばｚの係数と同じ形が出てきて、さらにそれは（　　A　　）にも含まれるため、その部分でまとめてくくる。すると、

（（2）の結果を含んだ式）－81

という形になり、（1）より答えはー81となる。

【平方完成を知らない人向け】
（答えを出すだけならこちらの方が早いかも。ただ、この式の本質は見えなくなる）
（2）と（1）よりｘ、ｙ、ｚの少なくとも1つが3となることがわかる。あとは場合分けして、
(i)x=3のとき、①よりｙ+ｚ＝0なのでｚ＝ーｙ
あとはｘ＝3とｚ＝－ｙを与式に代入して計算すると、いろいろうまいこと消えて答えが出る。

(ii)y=3のときも同様の方針であり、与式はyとｚについて対称式なのでｚ＝3のときも同様となる。

この解法で「なぜこんなにうまいこと消えるのか？」と疑問に思う人は、平方完成を習った後で前の解法で解いてみるとよい。理由がわかってスッキリするだろう。