オリジナル問題にチャレンジ~第2問の解答~

【問題2】

nを2以上の自然数とする。正2ｎ角形の頂点間を結ぶベクトルの個数を求めよ。

さて、非常にシンプルな問題ですがどうだったでしょうか？対称性がポイントになりますが、

対角線ではなくベクトルなので、平行移動して重なるものは同一視しないといけません。

以下、解答です。

2ｎ個の頂点から2個の頂点を選ぶ組合せは2ｎＣ2通り。これが辺および対角線の本数になる。

このうち最も長い対角線はn本あり、このn本には平行移動して重なるベクトルは存在せず、

その他は中心を挟んで向かい合う辺で重なり合うので、対称性を考慮しないといけない。

さらに逆ベクトルも考えると、次のような式になる。

(2nC2ーn)×2÷2+2ｎ＝2n^2

※n^2はnの2乗という意味です

後の2ｎは最も長い対角線のベクトルの個数です。逆ベクトルもあるので2倍しています。

前の(2nC2ーn)×2÷2はそれ以外の対角線についてで、対称性から÷2、逆ベクトルもあるので×2となります。

ピンとこない人はn=2あたりで図を書いてみるとわかると思います。

以上！

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