オリジナル問題にチャレンジ~前回の解答及び第2問~

前回の問題を載せてから1週間が経ちましたが、どうだったでしょうか？

解答と解説です。

【問題】

次の3つの条件を満たす数列Anを作れ。

①A1=1，A2=2，A3=3，Ａ4＝4，A5=5を満たす。

②一般項はAn=nではない。

③Anはnの多項式である。

まず発想としては、「An=nがあくまでベースにあり、それにn=1~₅を代入して0になるものを付け加えればいい」ということになります。An-nがn=1,2,3,4,5のときに0になる、と捉えてもいいでしょう。

因数定理を意識すれば、

An=n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

という式になるはずです。もちろん後ろの部分を2乗・3乗してもいいし、さらに後ろに(n-6)(n-7)・・・と続けていくこともできます。与えられた条件がA6=6やA7=7、もしくはその先まであったとしても、全く同じアイデアで見つけることができます。

この問題から学んでほしいことは、「何の条件もなしに有限個の項を見ただけで、一般項を決定することは絶対にできない」ということです。条件として等差数列であるとか、等比数列であるとかが前提にあれば別ですが。

だから、最初の数項から一般項を出すときには帰納法による証明が絶対に必要なわけです。

さて、では第2問といきましょう。

【問題2】

nを2以上の自然数とする。正2ｎ角形の頂点間を結ぶベクトルの個数を求めよ。

以上です。

当時、京都の名門校、洛星高校の生徒たちに時間制限あり（20分）で解かせてみたところ正答率60％程度だったので、そこまで難しい問題ではないと思います。

※意外と小中学生やその保護者様も見て下さっているようなので、次回は中学入試っぽく、小~高まで取り組めるような問題にしようと思います。

以上！

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